Relasi dan Operasi Dalam Sistem Matematika + contoh Soal

RELASI DAN OPERASI DALAM SISTEM MATEMATIKA

A. Pengertian Relasi

          Relasi dari himpunan A Ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A (daerah asal) dengan anggota-anggota himpunan B (daerah lawan). Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu:

1.    Diagram panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal   tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

2.    Himpunan pasangan berurutan

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu x, sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu y.Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik.

3.    Diagram Cartesius

Sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

Contoh 1 :

        Via    : Aku suka permen dan coklat

        Tomi    : Aku suka coklat dan Es-krim

        Ita    : Aku suka Es-krim

Dari contoh diatas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :

•    Himpunan A adalah himpunan nama orang

A = { Via, Tomi, Ita }

•    Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan

B = { permen, coklat, es-krim}

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah “Makanan Kesukaan” dan dapat dinyatakan dengan :

1. Diagram Panah 

2.    Himpunan Pasangan Berurutan

      {(Via, permen), (Via, coklat), (Tomi, coklat), (Tomi, es-krim), (Ita, es-krim)}

3.  Diagram Carteius

 

Advertisment** 

Free SEO tools for your Blog and Website! 

B.    Jenis-Jenis Relasi

1.    Relasi Invers

Misalkan R merupakan  relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan  adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ;

R-1= {(b,a) : (a,b)R}

2.    Relasi Refleksif

Misalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap A berlaku (a,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasi dengan dirinya sendiri

3.    Relasi Simetrik

Misalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.

4.    Relasi anti Simetrik

Suatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b)R dan (b,a)R maka a=b. Dengan kata lain Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)R atau (b,a)R, tetapi tidak kedua-duanya.

5.    Relasi Transitif

Misalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b)R dan (b,c)R maka (a,c)R. Dengan kata lain jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan c.

6.    Relasi Equivalen

Suatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi: Sifat Refleksif, Sifat Simetrik, Sifat Transitif.

C.    Operasi Relasi

Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan juga berlaku dalam relasi:

1.    Operasi   (intersection)

2.    Operasi   (union)

3.    Operasi   (symmetric difference)

4.    Operasi - (difference)

5.    Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian product)

D.    Operasi dalam Sistem Matematika

•    Kesamaan Dua Buah Bilangan

Definisi 1: {kesamaan dua buah bilangan}

Dua bilangan a dan b dikatakan sama (ditulis “ a = b ”) jika dan hanya jika a dan b menyatakan nama-nama untuk suatu bilangan.

Sifat-sifat relasi “ = “.

1.    Sifat refleksif : Untuk setiap a, a = a.

2.    Sifat Simetris : Jika a = b, maka b = a.

3.    Sifat Transitif : Jika a = b dan b = c, maka a= c

•    Penjumlahan Bilangan Cacah

Definisi 2: {Operasi Biner}

Suatu operasi biner pada himpunan S dinyatakan mengawankan secara tunggal     (tepat satu) setiap pasangan berurutan (a,b) anggota dari S x S dengan a * b. Catatan: Operasi biner didefinisikan sebagai fungsi dengan domain S X S. Sifat tertutup dalam operasi biner Untuk setiap a, b anggota S, maka a * b anggota dalam S.

Definisi 3: {Penjumlahan Bilangan Cacah}

Jika b = n(B), k = n(K), maka b + k = n (B U K)

Definisi 4: {Aturan Penjumlahan Bilangan cacah}

Jika a, b, c, d dan e adalah Bilangan-bilangan cacah maka berlaku :

1.    a + b + c = (a + b) + c

2.    a + b + c + d = {(a + b) + c} + d

3.    a + b + c + d + e = [{(a + b) + c} + d] + e

Definisi 5: {Perkalian Bilangan Cacah}

Jika p dan q bilangan-bilangan cacah sedemikian hingga p = n(P) dan q = n(Q), maka operasi biner p x q adalah n(P x Q). p x q disebut hasil kali p dan q masing-masing disebut faktor

Definisi 6: {Aturan Perkalian Bilangan Cacah}

Jika p, q, r, s dan t adalah bilangan-bilangan cacah maka berlaku :

1.    p x q x r = (p x q) x r

2.    p x q x r x s = {(p x q) x r} x s

3.    p x q x r x s x t = [{(p x q) x r} x s] x t

•    Pengurangan Bilangan Cacah

Definisi 7: {pengurangan bilangan cacah}

Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a – b = c jika dan hanya jika a = b + c. Pengurangan bilangan cacah juga dapat dinyatakan dalam definisi sebagai berikut: a dan b bilangan-bilangan cacah sedemikian hingga  a = n(A) dan b = n(B) serta A subset B maka a – b = n(A – B)

Definisi 7 dapat dinyatakan  sebagai :

a = b + (a – b)  {rumus pengurangan bilangan cacah}, Kemudian dengan sifat komutatif penjumlahan menjadi a = (a – b) + b

Definisi 8: {Apabila a, b dan (a – b) bilangan-bilangan cacah}

 (a – b) + c = (a + c) – b

Bukti :

(a – b) + c = (a + c) – b dapat dipandang sebagai pengurangan, sehingga

(a + c) sebagai terkurang, b sebagai pengurang dan {(a – b) + c} sebagai hasil pengurangan. Sehingga diperoleh (a + c) = b + {(a – b) + c}

Bentuk inilah yang akan kita buktikan.

(a + c)     = b + {(a – b) + c}

=  b + {(a – b) + c}                     {sifat asosiatif penjumlahan}

= {b + (a – b)} + c                       {rumus pengurangan}

=  a + c

Definisi 9: {pembagian bilangan-bilangan cacah}

Jika e, f dan g bilangan-bilangan cacah, dan f tidak sama dengan nol, maka e : f = g jika dan hanya jika e = g x f

Advertisment**
Free SEO tools for your Blog and Website!

Rumus Pembagian Bilangan Cacah

g = e : f disubtitusi ke e = g x f

Definisi 10: {Relasi lebih kecil}

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, a lebih kecil dari b (a < b) jika dan hanya jika terdapat bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b.

Definisi 11: {Relasi lebih besar}

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, a lebih besar dari b (a > b) jika dan hanya jika b < a.

Dari definisi 10 dan 11 diperoleh :

Sifat Trikotomi Bilangan Cacah :

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah maka hanya salah satu dari tiga relasi berikut yang benar.

a < b            a = b            a > b

Berdasarkan sifat trikotomi, relasi “<“ mempunyai beberapa sifat, yaitu : Jika a, b dan c adalah bilangan cacah, maka :

1.    Sifat irrefleksif, a tidak kurang dari a

2.    Sifat asimetris, Jika a < b maka b tidak kurang dari a

3.    Sifat transitif, jika a < b dan b < c maka a < c.

Definisi 12: {invers dan identitas penjumlahan}

Jika n bilangan bulat maka n + (-n) =(-n) + n = 0. (-n) disebut dengan Invers Penjumlahan dari n, dan 0 disebut elemen identitas dari penjumlahan.

Definisi 13: {Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan}

B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} dengan operasi (+) dan (x). Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat sembarang, sifat-sifat sistem bilangan bulat adalah :

1.    Sifat tertutup penjumlahan : (a + b) dalam B.

2.    Sifat tertutup perkalian : (a x b) dalam B.

3.    Sifat Komutatif Penjumlahan : a + b = b + a.

4.    Sifat Komutatif Perkalian : a x b = b x a.

5.    Sifat Asosiatif Penjumlahan : (a + b) + c = a + (b + c).

6.    Sifat Asosiatif Perkalian : (a x b) x c = a x (b x c).

7.    Sifat Distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

8.    Sifat Distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan (a + b) x c = (a x c) + (b x c).

9.    Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga, a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas penjumlahan.

10.    Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a. 1 disebut elemen identitas perkalian.

•    Pembagian Bilangan Cacah

Definisi 14: {Pengurangan Bilangan Bulat}

Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k. Sifat tertutup pengurangan bilangan bulat Untuk setiap a dan b bilangan-bilangan bulat selalu ada tunggal bilangan bulat (a – b).

Definisi 15: {pembagian bilangan bulat}

Jika a, b, c bilangan-bilangan bulat dengan b tidak sama dengan nol a : b = ca = bc.

Berdasarkan definisi 14 dan sifat 13 diperoleh :

v  ab : (-a) = (-b)

v  ab : (-b) = (-a)

Berdasarkan definisi 15 dan sifat 12 diperoleh :

-(ab) : a = (-b)

-(ab) : b = (-a)

-(ab) : (-a) = b

-(ab) : (-b) = a

Jadi, didapat rumus-rumus Pembagian Bilangan Bulat

1.    ((-a) : b) x b = (-a)

2.    (a : (-b)) x b = (-a)

3.    ((-a) : b) x (-b) = a

4.    (a : (-b)) x (-b) = a

5.    ((-a) : (-b)) x b = a

6.    ((-a) : (-b)) x (-b) = (-a)