Fungsi Determinan Matriks dan Sifat-sifat Fungsi Determinan Matriks + Contoh Soal

Fungsi Determinan Matriks dan Sifat-sifat Fungsi Determinan Matriks + Contoh Soal

A. Fungsi Determinan

Sebelum mempelajari fungsi determinan, harus kita kenal terlebih dahulu tentang permutasi. Perhatikan definisi dibawah ini :

DEFINISI. Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, …, n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa pengulangan.

Akan lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini:

Contoh 1

Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat
{1, 2, 3}. Permutasi-permutasi tersebut adalah

 (1, 2, 3)    (1, 3, 2)    (2, 1, 3)
 (2, 3, 1)    (3, 1, 2)    (3, 2, 1)

Contoh 2

Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat
{1, 2, 3, 4}. Permutasi tersebut adalah

      (1, 2, 3, 4)    (1, 2, 4, 3)    (1, 3,  2, 4)    (1, 3, 4, 2) 

      (1, 4, 2, 3)    (1, 4, 3, 2)    (2, 1,  3, 4)    (2, 1, 4, 3)
      (2, 3, 1, 4)    (2, 3, 4, 1)     (2 , 4, 1, 3)    (2, 4, 3, 1)

      (3, 1, 2, 4)     (3, 1, 4, 2)    (3, 2, 1, 4)     (3, 2, 4, 1)

      (3, 4, 2, 1)     (3, 4, 1, 2)    (4, 1, 2, 3)     (4, 1, 3, 2)
      (4, 2, 3, 1)     (4, 2, 1, 3)    (4, 3, 2, 1)     (4, 3, 1, 2)

Dari contoh diatas, ada 24 permuatasi dari {1, 2, 3, 4}. Hasil tersebut merupakan perkalian dari posisi, yaitu posisi pertama terdiri dari empat, posisi kedua terdiri dari tiga, posisi ketiga terdiri dari dua dan posisi ke-empat hanya satu atau dapat ditulis

Permutasi -  empat = 4. 3. 2. 1 = 4 ! = 24

Untuk permutasi n bilangan yang berbeda, dapat dicari dengan cara yang sama, yaitu
 Permutasi - n = n.(n - 1). … .3.2. 1 =  n!

Selanjutnya akan dibahas tentang pembalikan. Pembalikan adalah suatu urutan bilangan besar mendahului bilangan yang lebih kecil. Sedangkan jumlah pembalikan adalah banyaknya bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil. Lebih lengkapnya perhatikan contoh dibawah ini.

Contoh 3

Tentukan jumlah inversi dalam permutasi berikut ini:
   (a) (6, 1, 3, 4, 5, 2)

   (b) (2, 4, 1, 3)

   (c) (1, 2, 3, 4)

Pemyelesaian:

    Jumlah inversi adalah 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8
    Jumlah inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3
    Tidak ada inversi dalam permutasi

DEFINISI. Suatu permutasi disebut genap jika total jumlah inversi merupakan suatu bilangan bulat genap dan disebut ganjil jika total jumlah inversi merupakan suatu bilangan bulat ganjil.

Contoh 4

Tabel berikut ini mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {1, 2, 3} sebagai genap atau ganjil.

 Hasil kali dasar dari suatu matriks persegi yaitu perkalian dari semua elemen matriks terhadap elemen matriks yang lain dengan mengikuti aturan tertentu. Jika matriks tersebut berukuran n x n, maka perkalian dasarnya terdiri dari n elemen. Sedangkan banyaknya perkalian dasar adalah n! yaitu banyaknya permutasi yang diisikan pada tanda setrip dan tanda positif atau negatif tergantung dari hasil pembalikan, jika permutasi genap bertanda positif dan sebaliknya permutasi ganjil betanda negatif.

Perhatikan definisi Fungsi Determinan berikut ini:

DEFINISI. Pada matriks A matriks persegi. Fungsi determinan A atau biasanya disingkat dengan determinan A dinyatakan dengan det (A) sebagai jumlahan hasil kali dasar beserta tanda dari A.

B. Perhitungan Determinan Matriks Persegi 

1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Contoh 5

Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 2 x 2, misalkan
       

2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Contoh 6

 Misalkan diketahui matriks 3 x 3 berikut ini:

    Untuk mencari determinan dari matriks berordo 3 x 3, digunakan metode sarrus.  Determinan matriks A adalah selisih antara diagonal utama dan diagonal sekunder, yaitu
   

3. Minor dan Kofaktor

Didefinisikan bahwa minor dari matriks Aij adalah det (Aij) dan kofaktornya adalah (-1)i + j det (Aij). Disini Aij adalah matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen ke-j dibuang.   

4. Determinan Matriks Ordo n x n

Determinan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace.

Teorema Laplace :
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktornya.

Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:   

dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau

 
dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. Kof (Aij) adalah kofaktor dari Aij.    

C. Sifat-Sifat Determinan

Sifat determinan yang penting adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinan tidak berubah bila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris, dengan kata lain:
det(A) = det (AT)

2. Sifat yang kedua yaitu : det(AB) = det (A).det(B) 

3. Jika dua baris atau kolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah.

4. Pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga determinan itu = 0.

5. Bila nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah baris atau kolom ditambah atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-elemen dari baris atau kolom lain.

6. Besar determinan menjadi β kali, bila suatu baris atau kolom dikalikan dengan skalar β.

7. Apabila semua unsur dalam 1 baris atau kolom = 0, maka harga determinan = 0.

8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil determinanya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya.
9. Jika A adalah matriks  segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama.

Fungsi Determinan Matriks dan Sifat-sifat Fungsi Determinan Matriks + Contoh Soal

Mohon Donasinya yaa, :)